Fundamentals of Compressible Fluid Mechanics Genick Bar Meir

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Fundamentals of Compressible Fluid Mechanics Genick Bar Meir

CONTENTS

Nomenclature xix
Feb-21-2007 version . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvi
Jan-16-2007 version . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvi
Dec-04-2006 version . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvii
GNU Free Documentation License . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxi
1. APPLICABILITY AND DEFINITIONS . . . . . . . . . . . . . . . . xxxii
2. VERBATIM COPYING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxiii
3. COPYING IN QUANTITY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxiii
4. MODIFICATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxiv
5. COMBINING DOCUMENTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxvi
6. COLLECTIONS OF DOCUMENTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxvi
7. AGGREGATION WITH INDEPENDENT WORKS . . . . . . . . . . xxxvii
8. TRANSLATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxvii
9. TERMINATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxvii
10. FUTURE REVISIONS OF THIS LICENSE . . . . . . . . . . . . . . xxxvii
ADDENDUM: How to use this License for your documents . . . . . . . xxxviii
How to contribute to this book . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxix
Credits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxix
John Martones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxix
Grigory Toker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xl
Ralph Menikoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xl
Domitien Rataaforret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xl
Gary Settles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xl
Your name here . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xl
Typo corrections and other ”minor” contributions . . . . . . . . . . . . xli
Version 0.4.9 pp. ? Feb ?, 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . li
Version 0.4.8.5a . July 21, 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . li
Version 0.4.8 Jan. 23, 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lii
Version 0.4.3 Sep. 15, 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lii
Version 0.4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . liii
Version 0.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . liii
Version 0.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . liii
Version 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lix
Version 0.4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lx
Version 0.4.1.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lx
Speed of Sound [beta] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxiv
Stagnation effects [advance] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxiv
Nozzle [advance] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxiv
Normal Shock [advance] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxiv
Minor Loss [NSV] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxv
Isothermal Flow [advance] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxv
Fanno Flow [advance] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxv
Rayleigh Flow [beta] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxv
Add mass [NSY] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxv
Evacuation and filling semi rigid Chambers [alpha] . . . . . . . . . . . . lxv
Evacuating and filling chambers under external forces [alpha] . . . . . . lxvi
Oblique Shock [advance] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxvi
Prandtl–Meyer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxvi
Transient problem [NYP] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxvi
General 1-D flow [NYP] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxvi
1 Introduction 1
1.1 What is Compressible Flow? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Why Compressible Flow is Important? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Historical Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.1 Early Developments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.2 The shock wave puzzle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.3 Choking Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.4 External flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.5 Filling and Evacuating Gaseous Chambers . . . . . . . . . . . . 14
1.3.6 Biographies of Major Figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Review of Thermodynamics 25
2.1 Basic Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Maximum Work of Expansion Process . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 The Velocity–Temperature Diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Basic of Fluid Mechanics 39
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Fluid Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.1 Kinds of Fluids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.2 Viscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.3 Kinematic Viscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.4 Bulk Modulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 Mass Conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.1 Control Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.2 Continuity Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.3 Reynolds Transport Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4 Momentum Conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.1 Momentum Governing Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4.2 Conservation Moment of Momentum . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5 Energy Conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5.1 Approximation of Energy Equation . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.6 Limitations of Integral Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.7 Differential Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.7.1 Mass Conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.7.2 Momentum Equations or N–S equations . . . . . . . . . . . . . 64
3.7.3 Boundary Conditions and Driving Forces . . . . . . . . . . . . . 66
4 Speed of Sound 67
4.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3 Speed of Sound in Ideal and Perfect Gases . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.4 Speed of Sound in Real Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.5 Speed of Sound in Almost Incompressible Liquid . . . . . . . . . . . . . 76
4.5.1 Sound in Variable Compressible Liquids . . . . . . . . . . . . . 77
4.6 Speed of Sound in Solids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.7 Sound Speed in Two Phase Medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.8 The Dimensional Effect of the Speed of Sound . . . . . . . . . . . . . . 83
5 Isentropic Flow 85
5.1 Stagnation State for Ideal Gas Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.1.1 General Relationship . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.1.2 Relationships for Small Mach Number . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2 Isentropic Converging-Diverging Flow in Cross Section . . . . . . . . . 89
5.2.1 The Properties in the Adiabatic Nozzle . . . . . . . . . . . . . . 90
5.2.2 Isentropic Flow Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2.3 Mass Flow Rate (Number) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.3 Isentropic Tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.3.1 Isentropic Isothermal Flow Nozzle . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.4 The Impulse Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.4.1 Impulse in Isentropic Adiabatic Nozzle . . . . . . . . . . . . . . 119
vi CONTENTS
5.4.2 The Impulse Function in Isothermal Nozzle . . . . . . . . . . . 122
5.5 Isothermal Table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.6 The effects of Real Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.7 Isentropic Relationships for Real Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6 Normal Shock 131
6.1 Solution of the Governing Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.1.1 Informal Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.1.2 Formal Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.1.3 Prandtl’s Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.2 Operating Equations and Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.2.1 The Limitations of the Shock Wave . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.2.2 Small Perturbation Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.2.3 Shock Thickness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.2.4 Shock Drag or Wave Drag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.3 The Moving Shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.3.1 Shock or Wave Drag Result from a Moving Shock . . . . . . . . 145
6.3.2 Shock Result from a Sudden and Complete Stop . . . . . . . . 147
6.3.3 Moving Shock into Stationary Medium (Suddenly Open Valve) . 149
6.3.4 Partially Open Valve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.3.5 Partially Closed Valve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.3.6 Worked–out Examples for Shock Dynamics . . . . . . . . . . . 163
6.4 Shock Tube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.4.1 Special Shock Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.4.2 Shock Tube Thermodynamics Considerations . . . . . . . . . . 182
6.5 Shock with Real Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.6 Shock in Wet Steam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.7 Normal Shock in Ducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.8 Additional Examples for Moving Shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.9 Tables of Normal Shocks, k = 1.4 Ideal Gas . . . . . . . . . . . . . . . 195
7 Normal Shock in Variable Duct Areas 203
7.1 Nozzle efficiency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
7.2 Diffuser Efficiency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
8 Nozzle Flow With External Forces 221
8.1 Isentropic Nozzle (Q = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
8.2 Isothermal Nozzle (T = constant) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
9 Isothermal Flow 225
9.1 The Control Volume Analysis/Governing equations . . . . . . . . . . . 226
9.2 Dimensionless Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
9.3 The Entrance Limitation of Supersonic Branch . . . . . . . . . . . . . 231
9.4 Comparison with Incompressible Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
9.5 Supersonic Branch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
CONTENTS vii
9.6 Figures and Tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
9.7 Isothermal Flow Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
9.8 Unchoked Situations in Fanno Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
9.8.1 Reynolds Number Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
10 Fanno Flow 245
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
10.2 Fanno Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
10.3 Non–Dimensionalization of the Equations . . . . . . . . . . . . . . . . 247
10.4 The Mechanics and Why the Flow is Choked? . . . . . . . . . . . . . . 250
10.5 The Working Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
10.6 Examples of Fanno Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
10.7 Supersonic Branch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
10.8 Maximum Length for the Supersonic Flow . . . . . . . . . . . . . . . . 261
10.9 Working Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
10.9.1 Variations of The Tube Length ( 4fL
D ) Effects . . . . . . . . . . 263
10.9.2 The Pressure Ratio, P2/ P1, effects . . . . . . . . . . . . . . . 267
10.9.3 Entrance Mach number, M1, effects . . . . . . . . . . . . . . . 270
10.10Practical Examples for Subsonic Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
10.10.1 Subsonic Fanno Flow for Given 4 f L
D and Pressure Ratio . . . . 276
10.10.2 Subsonic Fanno Flow for a Given M1 and Pressure Ratio . . . . 279
10.11The Approximation of the Fanno Flow by Isothermal Flow . . . . . . . 282
10.12 More Examples of Fanno Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
10.13 The Table for Fanno Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
10.14 Appendix – Reynolds Number Effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
11 Rayleigh Flow 289
11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
11.2 Governing Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
11.3 Rayleigh Flow Tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
11.4 Examples For Rayleigh Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
12 Evacuating SemiRigid Chambers 303
12.1 Governing Equations and Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
12.2 General Model and Non–Dimensionalization . . . . . . . . . . . . . . . 306
12.2.1 Isentropic Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
12.2.2 Isothermal Process in The Chamber . . . . . . . . . . . . . . . 309
12.2.3 A Note on the Entrance Mach number . . . . . . . . . . . . . . 309
12.3 Rigid Tank with A Nozzle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
12.3.1 Adiabatic Isentropic Nozzle Attached . . . . . . . . . . . . . . . 310
12.3.2 Isothermal Nozzle Attached . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
12.4 Rapid evacuating of a rigid tank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
12.4.1 Assuming Fanno Flow Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
12.4.2 Filling Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
12.4.3 The Isothermal Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
viii CONTENTS
12.4.4 Simple Semi Rigid Chamber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
12.4.5 The “Simple” General Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
12.5 Advance Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
12.6 Remark on Real Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
13 Evacuating under External Volume Control 319
13.1 General Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
13.1.1 Rapid Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
13.1.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
13.1.3 Direct Connection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
13.2 Non–Linear Functions Effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
13.3 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
14 Oblique Shock 329
14.1 Preface to Oblique Shock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
14.2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
14.2.1 Introduction to Oblique Shock . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
14.2.2 Introduction to Prandtl–Meyer Function . . . . . . . . . . . . . 330
14.2.3 Introduction to Zero Inclination . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
14.3 Oblique Shock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
14.4 Solution of Mach Angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
14.4.1 Upstream Mach Number, M1, and Deflection Angle, ± . . . . . 334
14.4.2 When No Oblique Shock Exist or the case of D > 0 . . . . . . 337
14.4.3 Upstream Mach Number, M1, and Shock Angle, µ . . . . . . . 345
14.4.4 Given Two Angles, ± and µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
14.4.5 Flow in a Semi–2D Shape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
14.4.6 Flow in a Semi-2D Shape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
14.4.7 Small ± “Weak Oblique shock” . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
14.4.8 Close and Far Views of the Oblique Shock . . . . . . . . . . . . 351
14.4.9 Maximum Value of Oblique shock . . . . . . . . . . . . . . . . 351
14.5 Detached Shock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
14.5.1 Issues Related to the Maximum Deflection Angle . . . . . . . . 353
14.5.2 Oblique Shock Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
14.5.3 Application of Oblique Shock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
14.5.4 Optimization of Suction Section Design . . . . . . . . . . . . . 369
14.5.5 Retouch of Shock Drag or Wave Drag . . . . . . . . . . . . . . 369
14.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
14.7 Appendix: Oblique Shock Stability Analysis . . . . . . . . . . . . . . . 370
15 Prandtl-Meyer Function 373
15.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
15.2 Geometrical Explanation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
15.2.1 Alternative Approach to Governing Equations . . . . . . . . . . 375
15.2.2 Comparison And Limitations between the Two Approaches . . . 379
15.3 The Maximum Turning Angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
CONTENTS ix
15.4 The Working Equations for the Prandtl-Meyer Function . . . . . . . . . 380
15.5 d’Alembert’s Paradox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
15.6 Flat Body with an Angle of Attack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
15.7 Examples For Prandtl–Meyer Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
15.8 Combination of the Oblique Shock and Isentropic Expansion . . . . . . 383
A Computer Program 387
A.1 About the Program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
A.2 Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
A.3 Program listings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
B Oblique Shock History 391
Index 395
Subjects Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
Authors Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398