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Basics of Fluid Mechanics Genick Bar Meir

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Basics of Fluid Mechanics Genick Bar Meir
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CONTENTS

Nomenclature xxiii
GNU Free Documentation License . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxiii
1. APPLICABILITY AND DEFINITIONS . . . . . . . . . . . . . . . . xxxiv
2. VERBATIM COPYING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxv
3. COPYING IN QUANTITY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxv
4. MODIFICATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxvi
5. COMBINING DOCUMENTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxviii
6. COLLECTIONS OF DOCUMENTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxviii
7. AGGREGATION WITH INDEPENDENT WORKS . . . . . . . . . . xxxix
8. TRANSLATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxix
9. TERMINATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxix
10. FUTURE REVISIONS OF THIS LICENSE . . . . . . . . . . . . . . xxxix
ADDENDUM: How to use this License for your documents . . . . . . . xl
How to contribute to this book . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xli
Credits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xli
Steven from artofproblemsolving.com . . . . . . . . . . . . . . . . . . xli
Dan H. Olson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xlii
Richard Hackbarth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xlii
John Herbolenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xlii
Eliezer Bar-Meir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xlii
Henry Schoumertate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xlii
Your name here . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xlii
Typo corrections and other ”minor” contributions . . . . . . . . . . . . xliii
Version 0.3.2.0 March 18, 2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . liii
pages 617 size 4.8M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . liii
Version 0.3.0.5 March 1, 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . liii
pages 400 size 3.5M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . liii
Version 0.1.8 August 6, 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . liv
pages 189 size 2.6M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . liv
Version 0.1 April 22, 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . liv
pages 151 size 1.3M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . liv
Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxi
Open Channel Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxi
1 Introduction to Fluid Mechanics 1
1.1 What is Fluid Mechanics? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Brief History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Kinds of Fluids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Shear Stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 ViscosityViscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5.1 General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5.2 Non–Newtonian Fluids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.3 Kinematic Viscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.4 Estimation of The Viscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Fluid Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.1 Fluid Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6.2 Bulk Modulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7 Surface Tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.7.1 Wetting of Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2 Review of Thermodynamics 45
2.1 Basic Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 Review of Mechanics 53
3.1 Kinematics of of Point Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Center of Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.1 Actual Center of Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.2 Aproximate Center of Area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3 Moment of Inertia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3.1 Moment of Inertia for Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3.2 Moment of Inertia for Area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.3 Examples of Moment of Inertia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3.4 Product of Inertia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.5 Principal Axes of Inertia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.4 Newton’s Laws of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.5 Angular Momentum and Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.5.1 Tables of geometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4 Fluids Statics 69
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2 The Hydrostatic Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3 Pressure and Density in a Gravitational Field . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3.1 Constant Density in Gravitational Field . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3.2 Pressure Measurement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3.3 Varying Density in a Gravity Field . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.3.4 The Pressure Effects Due To Temperature Variations . . . . . . 86
4.3.5 Gravity Variations Effects on Pressure and Density . . . . . . . 90
4.3.6 Liquid Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.4 Fluid in a Accelerated System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.4.1 Fluid in a Linearly Accelerated System . . . . . . . . . . . . . . 93
4.4.2 Angular Acceleration Systems: Constant Density . . . . . . . . 95
4.4.3 Fluid Statics in Geological System . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.5 Fluid Forces on Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.5.1 Fluid Forces on Straight Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.5.2 Forces on Curved Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.6 Buoyancy and Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.6.1 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.6.2 Surface Tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.7 Rayleigh–Taylor Instability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.8 Qualitative questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
I Integral Analysis 145
5 Mass Conservation 147
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.2 Control Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.3 Continuity Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.3.1 Non Deformable Control Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.3.2 Constant Density Fluids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.4 Reynolds Transport Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.5 Examples For Mass Conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.6 The Details Picture – Velocity Area Relationship . . . . . . . . . . . . 166
5.7 More Examples for Mass Conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6 Momentum Conservation 173
6.1 Momentum Governing Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.1.1 Introduction to Continuous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.1.2 External Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.1.3 Momentum Governing Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.1.4 Momentum Equation in Acceleration System . . . . . . . . . . 175
6.1.5 Momentum For Steady State and Uniform Flow . . . . . . . . . 176
6.2 Momentum Equation Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.2.1 Momentum for Unsteady State and Uniform Flow . . . . . . . . 183
6.2.2 Momentum Application to Unsteady State . . . . . . . . . . . . 183
6.3 Conservation Moment Of Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.4 More Examples on Momentum Conservation . . . . . . . . . . . . . . . 192
6.4.1 Qualitative Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7 Energy Conservation 197
7.1 The First Law of Thermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.2 Limitation of Integral Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
7.3 Approximation of Energy Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
7.3.1 Energy Equation in Steady State . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
7.3.2 Energy Equation in Frictionless Flow and Steady State . . . . . 212
7.4 Energy Equation in Accelerated System . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
7.4.1 Energy in Linear Acceleration Coordinate . . . . . . . . . . . . 213
7.4.2 Linear Accelerated System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
7.4.3 Energy Equation in Rotating Coordinate System . . . . . . . . . 215
7.4.4 Simplified Energy Equation in Accelerated Coordinate . . . . . . 216
7.4.5 Energy Losses in Incompressible Flow . . . . . . . . . . . . . . 216
7.5 Examples of Integral Energy Conservation . . . . . . . . . . . . . . . . 218
II Differential Analysis 225
8 Differential Analysis 227
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
8.2 Mass Conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
8.2.1 Mass Conservation Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
8.2.2 Simplified Continuity Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
8.3 Conservation of General Quantity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
8.3.1 Generalization of Mathematical Approach for Derivations . . . . 238
8.3.2 Examples of Several Quantities . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
8.4 Momentum Conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
8.5 Derivations of the Momentum Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
8.6 Boundary Conditions and Driving Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
8.6.1 Boundary Conditions Categories . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
8.7 Examples for Differential Equation (Navier-Stokes) . . . . . . . . . . . 259
8.7.1 Interfacial Instability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
9 Dimensional Analysis 273
9.1 Introductory Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
9.1.1 Brief History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
9.1.2 Theory Behind Dimensional Analysis . . . . . . . . . . . . . . . 275
9.1.3 Dimensional Parameters Application for Experimental Study . . 277
9.1.4 The Pendulum Class Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
9.2 Buckingham–¼–Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
9.2.1 Construction of the Dimensionless Parameters . . . . . . . . . . 281
9.2.2 Basic Units Blocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
9.2.3 Implementation of Construction of Dimensionless Parameters . . 285
9.2.4 Similarity and Similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
9.3 Nusselt’s Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
9.4 Summary of Dimensionless Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
9.4.1 The Significance of these Dimensionless Numbers . . . . . . . . 312
9.4.2 Relationship Between Dimensionless Numbers . . . . . . . . . . 315
9.4.3 Examples for Dimensional Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . 316
9.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
9.6 Appendix summary of Dimensionless Form of Navier–Stokes Equations . 319
10 Potential Flow 325
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
10.1.1 Inviscid Momentum Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
10.2 Potential Flow Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
10.2.1 Streamline and Stream function . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
10.2.2 Compressible Flow Stream Function . . . . . . . . . . . . . . . 336
10.2.3 The Connection Between the Stream Function and the Potential Function338
10.3 Potential Flow Functions Inventory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
10.3.1 Flow Around a Circular Cylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
10.4 Conforming Mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
10.4.1 Complex Potential and Complex Velocity . . . . . . . . . . . . 369
10.5 Unsteady State Bernoulli in Accelerated Coordinates . . . . . . . . . . 373
10.6 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
11 Compressible Flow One Dimensional 377
11.1 What is Compressible Flow? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
11.2 Why Compressible Flow is Important? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
11.3 Speed of Sound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
11.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
11.3.2 Speed of Sound in Ideal and Perfect Gases . . . . . . . . . . . . 380
11.3.3 Speed of Sound in Almost Incompressible Liquid . . . . . . . . . 381
11.3.4 Speed of Sound in Solids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
11.3.5 The Dimensional Effect of the Speed of Sound . . . . . . . . . 382
11.4 Isentropic Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
11.4.1 Stagnation State for Ideal Gas Model . . . . . . . . . . . . . . 384
11.4.2 Isentropic Converging-Diverging Flow in Cross Section . . . . . 386
11.4.3 The Properties in the Adiabatic Nozzle . . . . . . . . . . . . . . 387
11.4.4 Isentropic Flow Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
11.4.5 Mass Flow Rate (Number) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
11.4.6 Isentropic Tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
11.4.7 The Impulse Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
11.5 Normal Shock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
11.5.1 Solution of the Governing Equations . . . . . . . . . . . . . . . 408
11.5.2 Prandtl’s Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
11.5.3 Operating Equations and Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . 413
11.5.4 The Moving Shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
11.5.5 Shock or Wave Drag Result from a Moving Shock . . . . . . . . 416
11.5.6 Tables of Normal Shocks, k = 1.4 Ideal Gas . . . . . . . . . . . 418
11.6 Isothermal Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
11.6.1 The Control Volume Analysis/Governing equations . . . . . . . 421
11.6.2 Dimensionless Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
11.6.3 The Entrance Limitation of Supersonic Branch . . . . . . . . . 426
11.6.4 Supersonic Branch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
11.6.5 Figures and Tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
11.6.6 Isothermal Flow Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
11.7 Fanno Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
11.7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
11.7.2 Non–Dimensionalization of the Equations . . . . . . . . . . . . 438
11.7.3 The Mechanics and Why the Flow is Choked? . . . . . . . . . . 441
11.7.4 The Working Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
11.7.5 Examples of Fanno Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
11.7.6 Working Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
11.7.7 The Pressure Ratio, P2/ P1, effects . . . . . . . . . . . . . . . 456
11.7.8 Practical Examples for Subsonic Flow . . . . . . . . . . . . . . 463
11.7.9 Subsonic Fanno Flow for Given 4 f L
D and Pressure Ratio . . . . 463
11.7.10 Subsonic Fanno Flow for a Given M1 and Pressure Ratio . . . . 466
11.7.11 More Examples of Fanno Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
11.8 The Table for Fanno Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
11.9 Rayleigh Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
11.10Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
11.10.1 Governing Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
11.10.2 Rayleigh Flow Tables and Figures . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
11.10.3 Examples For Rayleigh Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
12 Compressible Flow 2–Dimensional 485
12.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
12.1.1 Preface to Oblique Shock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
12.2 Oblique Shock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
12.2.1 Solution of Mach Angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
12.2.2 When No Oblique Shock Exist or the case of D > 0 . . . . . . 492
12.2.3 Application of Oblique Shock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
12.3 Prandtl-Meyer Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
12.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
12.3.2 Geometrical Explanation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
12.3.3 Alternative Approach to Governing Equations . . . . . . . . . . 522
12.3.4 Comparison And Limitations between the Two Approaches . . . 525
12.4 The Maximum Turning Angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
12.5 The Working Equations for the Prandtl-Meyer Function . . . . . . . . . 526
12.6 d’Alembert’s Paradox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
12.7 Flat Body with an Angle of Attack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
12.8 Examples For Prandtl–Meyer Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
12.9 Combination of the Oblique Shock and Isentropic Expansion . . . . . . 530
13 Multi–Phase Flow 535
13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
13.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
13.3 What to Expect From This Chapter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
13.4 Kind of Multi-Phase Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
13.5 Classification of Liquid-Liquid Flow Regimes . . . . . . . . . . . . . . . 538
13.5.1 Co–Current Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
13.6 Multi–Phase Flow Variables Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
13.6.1 Multi–Phase Averaged Variables Definitions . . . . . . . . . . . 544
13.7 Homogeneous Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
13.7.1 Pressure Loss Components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
13.7.2 Lockhart Martinelli Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550
13.8 Solid–Liquid Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551
13.8.1 Solid Particles with Heavier Density ½S > ½L . . . . . . . . . . 552
13.8.2 Solid With Lighter Density ½S < ½ and With Gravity . . . . . . 554
13.9 Counter–Current Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555
13.9.1 Horizontal Counter–Current Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . 557
13.9.2 Flooding and Reversal Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
13.10Multi–Phase Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565
A Mathematics For Fluid Mechanics 567
A.1 Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567
A.1.1 Vector Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568
A.1.2 Differential Operators of Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . 570
A.1.3 Differentiation of the Vector Operations . . . . . . . . . . . . . 572
A.2 Ordinary Differential Equations (ODE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578
A.2.1 First Order Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 578
A.2.2 Variables Separation or Segregation . . . . . . . . . . . . . . . 579
A.2.3 Non–Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
A.2.4 Second Order Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . 584
A.2.5 Non–Linear Second Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . 586
A.2.6 Third Order Differential Equation . . . . . . . . . . . . . . . . 589
A.2.7 Forth and Higher Order ODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591
A.2.8 A general Form of the Homogeneous Equation . . . . . . . . . 593
A.3 Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593
A.3.1 First-order equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594
A.4 Trigonometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595
xii CONTENTS
Index 597
Subjects Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597
Authors Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603